Popularni Pape karijeru je započeo u Krivaji iz Zavidovića, u kojoj je sa 16 godina počeo da igra u prvom timu. Sezonu 1972/73. godine počeo je kao igrač FK Sarajeva, prvo kao junior, da bi 3. avgusta 1973. debitovao u prvoj postavi seniora. U sledećih desetak godina i više od 200 odigranih utakmica za tim s Koševa postigao je 86 golova.

Za reprezentaciju Jugoslavije debitovao je 5. oktobra 1977. u Budimpešti protiv Mađarske i postigao 2 gola. Na sledećoj utakmici, protiv Rumunije u Bukureštu, postigao je prvi het-trik. Sledi još jedan protiv Italije u Zagrebu u junu 1978, pa još jedan protiv tadašnjih svetskih prvaka, Argentine, 2 meseca kasnije u Beogradu. 1979. izabran je za najboljeg sportistu Bosne i Hercegovine i za najboljeg fudbalera Jugoslavije. 1981. dobija Šestoaprilsku nagradu grada Sarajeva.

Početkom osamdesetih, 1982, Safet prelazi u Pari Sen Žermen, gde je ostao 9 godina. U prvenstvu Francuske za PSŽ je odigrao 287 utakmica i postigao 65 golova.

Fudbalsku karijeru okončao je 1992. sa 37 godina igrajući za francuski Red Star.

Nakon igračke karijere počeo je da radi kao trener. Trenirao je francuski Kan i Evijan, turski Istanbulspor i klubove u Saudijskoj Arabiji, da bi 2009. preuzeo reprezentaciju Bosne i Hercegovine, koja se pod njegovim vođstvom prvi put u istoriji plasirala na neko veliko takmičenje, i to Svetsko prvenstvo u Brazilu 2014. Ipak, u novembru 2014, zbog loših rezultata reprezentacije na početku kvalifikacija za Evropsko prvenstvo 2016, smenjen je s funkcije selektora.

Sušić je 2000. povodom proslavljanja 50 godina UEFA-e zvanično proglašen najboljim fudbalerom Bosne i Hercegovine u poslednjih pola veka.